Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла  

Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла

На основе теоремы Барроу выведем формулу для вычисления определенного интеграла от непрерывных функций. Пусть определена и непрерывна на промежутке . Тогда она имеет на этом промежутке первообразную . Пусть – любая другая первообразная для на промежутке . Известно, что две любые первообразные одной и той же функции отличаются разве лишь на постоянное значение, т.е. . Справедливо равенство

, (22)

где – какая-то постоянная. Вычислим величину . Положим в (22) . Поскольку , получим и формула (22) примет вид

. (23)

Положим в (23) . Тогда

, (24)

где – любая первообразная для функции .

Формула (24) носит название «формула Ньютона-Лейбница». С помощью формулы (24) можно вычислить определенный интеграл от любой непрерывной функции.

Введем обозначение:

.

Символ называется двойная подстановка в функцию в пределах от до . С его помощью формулу (24) можно записать в виде

,

или в виде

.

Если функция имеет сложный вид, то используют запись .

Приведем примеры применения формулы Ньютона-Лейбница.

Пример 7.1.

Пример 7.2. .

Пример 7.3. .

Пример 7.4. .

Пример 7.5.

.

Пример 7.6. .

Пример 7.7.

.

Пример 7.8. .

Пример 7.9. Вычислить .Сначала найдем .

Используем замену переменной: .

Тогда

Пример 7.10.Вычислить . Сначала найдем . Используем интегрирование по частям. Положим . Получим . Тогда

Окончательно,

Пример 7.11.Вычислить . Сначала найдем . При вычислении этого интеграла используем прием интегрирования по частям для того, чтобы свести его к себе. Положим . Найдем . Получим

Получили уравнение относительно искомого интеграла:

.

Решим его и получим:

,

. (25)

.

Окончательно,

. (26)

Замечание 1. Двойная подстановка обладает двумя очевидными свойствами:

1) ;

2)

Действительно,

Замечание 2.

Формула Ньютона-Лейбница (24) справедлива только для непрерывных функций. Ее можно использовать и для кусочно-непрерывных функций. Пусть теперь функция имеет на заданном промежутке конечное число конечных разрывов, например, в точках и . Тогда определенный интеграл по промежутку в силу формулы (10) вычисляется так:


Это естественно и в силу геометрического смысла определённого интеграла (рис. 6), поскольку площадь всей фигуры равна сумме площадей криволинейных трапеций на отдельных частичных промежутках, на которых функция непрерывна.




Интегрирование по частям в определенном интеграле

Для того чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница, нужно сначала найти неопределенный интеграл от подынтегральной функции. Для этого часто применяются формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле (пример 7.10 и 7.11) и замены переменной в неопределенном интеграле (пример 7.9). Но одноименные формулы существуют и для определенного интеграла. И гораздо удобнее использовать для вычисления определенного интеграла именно эти формулы.

Теорема 7. Пусть функции и дифференцируемы на промежутке . Справедлива формула

, (27)

или в более компактной[2] записи:

. (28)

Доказательство. Применим формулу Ньютона-Лейбница и формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле:

Формула (27) доказана.

Замечания.

1. При решении задач обычно пользуются компактной формой (28), а не развернутой формой (27).

2. Типы функций, которые следует интегрировать по частям, такие же, как и в случае вычисления неопределенного интеграла.

3. Форма записи решения такая же, как и в случае неопределенного интеграла.

Приведем примеры.

Пример 8.1.Вычислить .

Положим . Получим . Тогда

.

Пример 8.2.Вычислить .

Положим . Получим . Тогда

Пример 8.3.Вычислить .

Положим . Найдем . Получим

.

Воспользуемся тем, что вычислен в примере 7.9. Тогда

Пример 8.4.Вычислить .

Положим . Найдем . Получим

Мы воспользовались первообразной для функции , полученной с помощью замены следующим образом:

Пример 8.5.Вычислить .

При вычислении этого интеграла используем прием интегрирования по частям для того, чтобы свести его к себе. Положим . Найдем . Получим



Получили уравнение относительно искомого интеграла:

.

Решим его и получим:

.

Сравните полученный результат с результатом (26) примера 7.11.


9565700294545970.html
9565740242521791.html
    PR.RU™